若a为自然数，则a^4-3a^2+9是质数还是合数？给出证明。

因为a^4-3a^2+9=(a^2-3/2)^2+27/4
可令27/4=b^2,(a^2-3/2)^2=c^2
则原式=b^2+c^2，不可因式分解
所以不可能有两个或以上的数字相乘得到a^4-3a^2+9，所以是质数，得证

现在根本还没有永远是质数的表达式阿，楼上的显然不对。

我解的如下：
原式=a^4+6*a^2+9-9*a^2
=(a^2+3)^2-(3a)^2
=(a^2+3a+3)(a^2-3a+3)
因为a是自然数，所以前一项必然大于1，而后一项在a=1,2时等于1，a>2时大于1。
所以验证只有a=1,2时候这个式子是质数，a>2时是合数。